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20.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=4cm,AA1=2cm,設(shè)平面AB1D1與平面ABCD所成二面角為θ,tanθ=$\frac{1}{2}$.

分析 以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出平面AB1D1與平面ABCD所成二面角的正切值.

解答 解:以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標系,
A(4,0,0),B1(4,4,0),${D}_{1}\stackrel{\;}{\;}$(0,0,2),
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=(0,4,0),$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=(-4,0,2),
設(shè)平面AB1D1的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=4y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=-4x+2z=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,0,2),
平面ABCD的法向量$\overrightarrow{m}$=(0,0,1),
∵平面AB1D1與平面ABCD所成二面角為θ,
∴cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$,sinθ=$\sqrt{1-(\frac{2}{\sqrt{5}})^{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$,
tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}}}$=$\frac{1}{2}$.
故答案為:$\frac{1}{2}$.

點評 本題考查二面角的正切值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.

練習冊系列答案
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