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8.已知函數f(x)=sinωx-cosωx(ω>0),z∈R,若函數f(x)在(-ω,ω)上是增函數,且圖象關于直線x=-ω對稱,則ω=$\frac{\sqrt{π}}{2}$.

分析 利用三角函數的單調性、對稱性即可得出.

解答 解:函數f(x)=sinωx-cosωx=$\sqrt{2}$$sin(ωx-\frac{π}{4})$(ω>0),z∈R,
∵函數f(x)在(-ω,ω)上是增函數,
∴2kπ-$\frac{π}{2}$≤ωx-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z可解得函數f(x)的單調遞增區間為:$[\frac{2kπ-\frac{π}{4}}{ω},\frac{2kπ+\frac{3π}{4}}{ω}]$,k∈Z,
∴可得:-ω≥$\frac{2kπ-\frac{π}{4}}{ω}$,ω≤$\frac{2kπ+\frac{3π}{4}}{ω}$,k∈Z,
解得:0<ω2≤$\frac{π}{4}-2kπ$,且0<ω2≤2kπ+$\frac{3π}{4}$,k∈Z,
解得:$-\frac{3}{8}$<k<$\frac{1}{8}$,k∈Z,
∴可解得:k=0,
又圖象關于直線x=-ω對稱,
∴$sin(-{ω}^{2}-\frac{π}{4})$=±1,
∴ω2+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$,k=0,ω>0.
解得ω=$\frac{\sqrt{π}}{2}$.
故答案為:$\frac{\sqrt{π}}{2}$.

點評 本題考查了三角函數的單調性對稱性,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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