Question

19．設f（x）為定義在R上的偶函數，但x≥0時，y=f（x）的圖象是頂點在P（3，4），且過點A（2，2）的拋物線的一部分．
（1）求函數f（x）在（-∞，0）上的解析式；
（2）求函數f（x）在R上的解析式，并畫出函數f（x）的圖象；
（3）寫出函數f（x）的單調區間和值域．

Answer 1

分析 （1）因為f（x）為定義在R上的偶函數，但x≥0時，y=f（x）的圖象是頂點在P（3，4），且過點A（2，2）的拋物線的一部分，那么設出解析式，然后利用偶函數的對稱性得到結論；
（2）將第一問的結論和條件合并得到分段函數的解析式，并作出圖象； 
（3）根據圖象法，可得函數f（x）的單調區間和值域．

解答 解：：（1）∵當x≥0時，y=f（x）的圖象是頂點在P（3，4），且過點A（2，2）的拋物線的一部分，
可設y=a（x-3）²+4，再把點A（2，2）代入，可得 2=a+4，求得a=-2，
∴y=-2（x-3）²+4（x≥0）．
∴由于函數f（x）在R上是偶函數，
∴當x＜0時，y=f（-x）=-2（-x-3）²+4=-2（x+3）²+4（x＜0）．
（2）函數f（x）在R上的解析式，y=$\left\{\begin{array}{l}{-2（x-3）^{2}+4}&{x≥0}\\{-（x+3）^{2}+4}&{x＜0}\end{array}\right.$，
函數f（x）的圖象：

（3）由（2）可知：函數的單調遞增區間為：（-∞，-3），（0，3）；
單調遞減區間（-3，0），（0，+∞），
函數f（x）的值域（-∞，4）．

點評 本題考查了函數的奇偶性和二次函數的解析式的求解，以及函數的圖象與單調性的綜合運用，屬于中檔題．