Question

18．用數學歸納法證明等式：1²-2²+3²+…+（2n-1）²-（2n）²=-n（2n+1）（n∈N^*）．

Answer 1

分析 用數學歸納法證明：（1）當n=1時，去證明等式成立；（2）假設當n=k時，等時成立，用上歸納假設后，去證明當n=k+1時，等式也成立即可．

解答 證明：n=1時，1-2²=-3，左邊等于右邊；
假設n=k時，有1²-2²+3²-…+（2k-1）²-（2k）²=-k（2k+1）成立，
則n=k+1時，1²-2²+3²-…+（2k+1）²-（2k+2）²=-k（2k+1）+（2k+1）²-（2k+2）²=-（k+1）（2k+3）=-（k+1）[2（k+1）+1]得證
所以1²-2²+3²-…+（2n-1）²-（2n）²=-n（2n+1）（n∈N^*）成立．

點評 本題考查數學歸納法，用好歸納假設是關鍵，考查邏輯推理與證明的能力，屬于中檔題．