Question

8．已知x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y-2≤0\\ 5x-3y-12≥0\\ y≤3\end{array}\right.$，當目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）在該約束條件下取得最小值1時，（a+1）²+（b-1）²的最小值為（　　）

• A． $\frac{1}{10}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• C． $\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
• D． $\frac{9}{10}$

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，聯立方程組求得最優解的坐標，代入目標函數可得3a+b=1，結合a＞0，b＞0求得a的范圍，再把（a+1）²+（b-1）²化為關于a的二次函數，利用配方法求得最小值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y-2≤0\\ 5x-3y-12≥0\\ y≤3\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{5x-3y-12=0}\end{array}\right.$，解得A（3，1），
化z=ax+by（a＞0，b＞0）為y=-$\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
由圖可知，當直線y=-$\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$過A時，直線在y軸上的截距最小，z有最小值1，
此時3a+b=1，
∵a＞0，b＞0，∴0$＜a＜\frac{1}{3}$．
則（a+1）²+（b-1）²=（a+1）²+9a²=10a²+2a+1=10$（a+\frac{1}{10}）^{2}+\frac{9}{10}$．
則當a=$-\frac{1}{10}$時，（a+1）²+（b-1）²的最小值為$\frac{9}{10}$．
故選：D．

點評 本題考查簡單的線性規劃，考查了數學轉化思想方法和數形結合的解題思想方法，是中檔題．