Question

20．求證：
（1）$\frac{1-co{s}^{2}α}{sinα-cosα}$-$\frac{sinα+cosα}{ta{n}^{2}α-1}$=sinα+cosα；
（2）（2-cos²α）（2+tan²α）=（1+2tan²α）（1+cos²α）

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函數的基本關系化簡要求的式子為sinα+cosα，從而得到答案．
（2）利用同角三角函數關系證得左邊=右邊=$\frac{（1+si{n}^{2}α）（1+co{s}^{2}α）}{co{s}^{2}α}$．

解答 證明：（1）$\frac{1-co{s}^{2}α}{sinα-cosα}$-$\frac{sinα+cosα}{ta{n}^{2}α-1}$=$\frac{si{n}^{2}α}{sinα-cosα}$-$\frac{co{s}^{2}α（sinα+cosα）}{si{n}^{2}α-co{s}^{2}α}$=$\frac{si{n}^{2}α}{sinα-cosα}$-$\frac{co{s}^{2}α}{sinα-cosα}$=sinα+cosα，
即左邊=右邊，
得證．
（2）左邊=（1+1-cos²α）（2+$\frac{si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}$）=（1+sin²α）$•\frac{co{s}^{2}+co{s}^{2}α+si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}$=$\frac{（1+si{n}^{2}α）（1+co{s}^{2}α）}{co{s}^{2}α}$．
右邊=（1+$\frac{2si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}$）（1+cos²α）=$\frac{co{s}^{2}α+si{n}^{2}α+si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}$（1+cos²α）=$\frac{（1+si{n}^{2}α）（1+co{s}^{2}α）}{co{s}^{2}α}$．
所以左邊=右邊．
得證．

點評 本題考查三角函數的化簡和證明，考查同角的基本關系式的運用，考查運算能力，屬于基礎題．