Question

11．已知焦點在x軸上的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，其離心率為$\frac{1}{2}$，過橢圓左焦點F₁與上頂點B的直線為l₀．
（1）求橢圓的方程及直線l₀的方程；
（2）直線l：y=kx（k≠0）與橢圓C交于M，N兩點，點P是橢圓上異于M，N的一點．
①求證：當直線PM，PN存在斜率時，兩直線的斜率之積為定值，即k_PM•k_PN為定值；
②當直線l與點P滿足什么條件時，△PMN有最大面積？并求此最大面積．

Answer 1

分析 （1）由已知求得a，b，得橢圓的方程，進而得到直線l₀的方程；
（2）①點P（x₀，y₀）是橢圓上的任意一點，依題意不妨設點M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁），求出PM，PN的斜率，則結論可證；
②不妨設點P（$2cosθ，\sqrt{3}cosθ$），M（$2cosα，\sqrt{3}sinα$），θ，α∈R，而根據對稱性求出△PMN的面積，從而可得△MPN的面積有最大值．

解答 （1）解：由已知，有$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}=\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
其左焦點F₁（-1，0），上頂點B（0，$\sqrt{3}$），則直線l₀的方程為$y=\sqrt{3}（x+1）$；
（2）①證明：點P（x₀，y₀）是橢圓上的任意一點，依題意不妨設點M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁）．
${k}_{PM}=\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}，{k}_{PN}=\frac{{y}_{0}+{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$，
∴${k}_{PM}•{k}_{PN}=\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}•\frac{{y}_{0}+{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}=\frac{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}=-\frac{3}{4}$為定值．
②不妨設點P（$2cosθ，\sqrt{3}cosθ$），M（$2cosα，\sqrt{3}sinα$），θ，α∈R，
而根據對稱性，有S_△MPN=2S_△MOP=$|\overrightarrow{OM}||\overrightarrow{OP}|sin$＜$\overrightarrow{OM}，\overrightarrow{OP}$＞
=$|\overrightarrow{OM}||\overrightarrow{OP}|\sqrt{1-（\frac{\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{OM}||\overrightarrow{OP}|}）^{2}}$=$\sqrt{（\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{OP}）^{2}-（|\overrightarrow{OM}||\overrightarrow{OP}|）^{2}}$
=$\sqrt{（4cosθcosα+3sinθsinα）^{2}-（4co{s}^{2}θ+3si{n}^{2}θ）（4co{s}^{2}α+3si{n}^{2}α）}$=$2\sqrt{3}|sin（θ-α）|$，
當sin（θ-α）=1，即$θ-α=kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z時，△MPN的面積有最大值．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查三角形面積的計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．