Question

4．已知函數f（x）=log_a（x+m），g（x）=log_a（1-x）其中a＞1．若函數F（x）=f（x）-g（x）的零點是0
（1）求m 的值及函數F（x）定義域；
（2）判斷F（x）的奇偶性，并說明理由；
（3）求使F（x）＞0成立的x的集合．

Answer 1

分析 （1）令F（0）=0列方程計算m，得出F（x）的解析式，根據真數大于零列不等式組求出定義域；
（2）計算F（-x），利用對數的運算性質得出F（-x）和F（x）的關系即可得出結論；
（3）利用對數的單調性列出不等式解出x．

解答 解：（1）F（x）=log_a（x+m）-log_a（1-x）=log_a$\frac{x+m}{1-x}$，
∵F（0）=log_am=0，
∴m=1，
∴F（x）=log_a$\frac{x+1}{1-x}$，
由F（x）有定義得$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，解得-1＜x＜1，
∴F（x）的定義域為{x|-1＜x＜1}．
（2）函數的定義域為{x|-1＜x＜1}，關于原點對稱．
F（-x）=log_a$\frac{1-x}{1+x}$=-log_a$\frac{1+x}{1-x}$=-F（x），
∴F（-x）=-F（x），
∴F（x）是奇函數．
（3）∵F（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x）＞0，
∴log_a（x+1）＞log_a（1-x），
∵a＞1，∴$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\\{x+1＞1-x}\end{array}\right.$，解得0＜x＜1．
∴當 a＞1時，原不等式的解集為{x|0＜x＜1}．

點評 本題考查了對數函數的性質，函數奇偶性的判斷，單調性的應用，屬于中檔題．