Question

16．過點M（-2，0）的直線l與雙曲線x²-2y²=2交于P₁，P₂線段P₁P₂的中點為P．設直線l的斜率為k₁（k₁≠0），直線OP的斜率為k₂，則k₁k₂等于（　�。�

• A． -2
• B． 2
• C． $-\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由題意設直線l的方程為：y=k₁（x+2），代入雙曲線方程，由韋達定理求得x₁+x₂=$\frac{8{k}_{1}^{2}}{1-2{k}_{1}^{2}}$，則y₁+y₂=k₁（x₁+x₂+4）=$\frac{4{k}_{1}}{1-2{k}_{1}^{2}}$，根據中點坐標公式求得P點坐標，根據直線的斜率公式即可求得直線OP的斜率為k₂，即可求得k₁k₂的值．

解答 解：設直線l的方程為：y=k₁（x+2），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}（x+2）}\\{{x}^{2}-2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，整理得：（1-2k₁²）x²-8k₁²x-8k₁²-2=0，
由韋達定理可知：x₁+x₂=$\frac{8{k}_{1}^{2}}{1-2{k}_{1}^{2}}$，
而y₁+y₂=k₁（x₁+x₂+4）=$\frac{4{k}_{1}}{1-2{k}_{1}^{2}}$，
由中點坐標公式可知：P（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），即P（$\frac{4{k}_{1}^{2}}{1-2{k}_{1}^{2}}$，$\frac{2{k}_{1}}{1-2{k}_{1}^{2}}$）
∴OP的斜率k₂=$\frac{\frac{2{k}_{1}}{1-2{k}_{1}^{2}}}{\frac{4{k}_{1}^{2}}{1-2{k}_{1}^{2}}}$=$\frac{1}{2{k}_{1}}$，
∴k₁k₂=k₁×$\frac{1}{2{k}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴k₁k₂=$\frac{1}{2}$，
故選D．

點評 本題考查直線與雙曲線的位置關系，考查線段的中點坐標公式，考查韋達定理，直線的斜率公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．