Question

8．已知Sn=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$，若S_m=9，則m=（　　）

• A． 11
• B． 99
• C． 120
• D． 121

Answer 1

分析 根據(jù)裂項求和即可得到答案．

解答 解：$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，
∴Sn=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=（$\sqrt{2}$-1）+（$\sqrt{3}$$-\sqrt{2}$）+…+（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）=$\sqrt{n+1}$-1，
∵S_m=9，
∴$\sqrt{m+1}$-1=9，
解得m=99，
故選：B．

點評 本題給出一個特殊的數(shù)列，在已知前m項的和的情況下，求正整數(shù)m的值，著重考查了數(shù)列求和中裂項累加的方法，屬于中檔題．