Question

12．已知函數f（x）=a^3x+1，g（x）=（$\frac{1}{a}$）^5x-2，其中a＞0，且a≠1．
（1）若0＜a＜1，求滿足f（x）＜1的x的取值范圍；
（2）求關于x的不等式f（x）≥g（x）的解集．

Answer 1

分析 （1）由f（x）＜1，即a^3x+1＜1=a⁰，由0＜a＜1，則f（x）=a^3x+1，在（-∞，+∞）上單調遞減，因此3x+1＞0，解得：x＞-$\frac{1}{3}$，即可求得f（x）＜1的x的取值范圍；
（2）由不等式f（x）≥g（x），即a^3x+1≥（$\frac{1}{a}$）^5x-2=a^2-5x，則0＜a＜1時，函數f（x）=a^x在R單調遞減，則3x+1≤2-5x，解得：x≥$\frac{1}{8}$，同理當x＞1時，即可求得不等式f（x）≥g（x）的解集．

解答 解：（1）f（x）=a^3x+1，0＜a＜1，
由f（x）＜1，即a^3x+1＜1=a⁰，
由0＜a＜1，
∴f（x）=a^3x+1，在（-∞，+∞）上單調遞減，
∴3x+1＞0，解得：x＞-$\frac{1}{3}$，
∴滿足f（x）＜1的x的取值范圍（-$\frac{1}{3}$，+∞）；
（2）由不等式f（x）≥g（x），即a^3x+1≥（$\frac{1}{a}$）^5x-2=a^2-5x，
當0＜a＜1時，函數f（x）=a^x在R單調遞減，
∴3x+1≤2-5x，解得：x≤$\frac{1}{8}$，
當a＞1時，函數f（x）=a^x在R單調遞增，
3x+1≥2-5x，解得：x≥$\frac{1}{8}$，
故當0＜a＜1時，解集為：{x丨x≤$\frac{1}{8}$}；當a＞1時，解集為：{x丨x≥$\frac{1}{8}$}

點評 本題考查指數函數的性質，考查指數函數單調性的應用，考查計算能力，屬于基礎題．