Question

如圖，圓O：x²+y²=4與坐標軸交于點A，B，C．
（1）求與直線AC垂直的圓的切線方程；
（2）設點M是圓上任意一點（不在坐標軸上），直線CM交x軸于點D，直線BM交直線AC于點N，
    ①若D點坐標為（2

3

，0），求弦CM的長；
    ②求證：2k_ND-k_MB為定值．

Answer 1

考點：圓的切線方程,直線與圓錐曲線的關系

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）先求直線AC的方程，設出切線方程，利用點線距離等于半徑，即可求與直線AC垂直的圓的切線方程；
（2）①求出CM的方程，圓心到直線CM的距離，即可求弦CM的長；
②確定N，D的坐標，表示出2k_ND-k_MB，即可證明2k_ND-k_MB為定值．

解答： 解：（1）由題意，A（-2，0），B（2，0），C（0，2），
∴直線AC：

x

-2

+

y

2

=1，即x-y+2=0，…（2分）
設l：x+y+b=0，∴

|b|

1+1

=2，則b=±2

2

，
∴l：x+y±2

2

=0； …（5分）
（2）①CM：x+

3

y-2

3

=0，圓心到直線CM的距離d=

2 3

1+3

=

3

，
∴弦CM的長為2

4-3

=2   …（9分）
②設M（x₀，y₀），則x₀≠±2，x₀≠0，x₀²+y₀²=4，直線CM：y=

y0-2

x0

x+2，
則D（

2x0

2-y0

，0），k_MB=

y0

x0-2

，直線BM：y=

y0

x0-2

（x-2），
又l_AC：y=x+2AC與BM交點N（

4-2x0-2y0

x0-y0-2

，

-4y0

x0-y0-2

），k_ND=

4y0-2y02

x02-2x0y0+4y0-4-y02

將x₀²=4-y₀²，代入得k_ND=

y0-2

x0+y0-2

，…（13分）
所以2k_ND-k_MB=2×

y0-2

x0+y0-2

-

y0

x0-2

=1為定值．…（16分）

點評：本題考查直線方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．