Question

求函數y=

x-1

+

3-x

的值域．

Answer 1

考點：函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：本題可以利用

x-1

與

3-x

的平方和為定值，采用換元法，將原函數的值域轉化為三角函數的值域問題，對三角函數式進行變形化簡后，求出三角函數的值域，得到本題結論．

解答： 解：∵（

x-1

）²+（

3-x

）²=x-1+3-x=2，
∴可設

x-1

=

2

cosα，

3-x

=

2

sinα，α∈[0，

π

2

]，
∴y=

2

cosα+

2

sinα
=2（

2

2

cosα+

2

2

sinα）
=2sin(α+

π

4

)．
∵0≤α≤

π

2

，
∴

π

4

≤α+

π

4

≤

3

4

π，
∴

2

2

≤sin(α+

π

4

)≤1，
∴

2

≤2sin(α+

π

4

)≤2，
即函數y=

x-1

+

3-x

的值域為[

2

，2]．

點評：本題考查了三角代換法求函數值域，本題也可以利用平方法和基本不等式研究函數值域，本題方法靈活，難度不大，屬于基礎題．