Question

已知球的半徑為R，一個圓錐的高等于這個球的直徑，而且球的表面積等于圓錐的表面積，求圓錐的內接等邊圓柱的體積．

Answer 1

考點：旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）

專題：空間位置關系與距離

分析：根據球的半徑為R，一個圓錐的高等于這個球的直徑，而且球的表面積等于圓錐的表面積，求出圓錐的母線長和底面半徑，進而求出圓錐的內接等邊圓柱的底面半徑和高，代入圓柱體積公式，可得答案．

解答： 解：半徑為R的球的表面積為：4πR²，
設圓錐的底面邊長為r，
由圓錐的高等于這個球的直徑可得：
圓錐的母線l=

r2+4R2

，
由球的表面積等于圓錐的表面積，
可得：πr（r+l）=πr（r+

r2+4R2

）=4πR²，
解得：r²=

4

3

R²，即r=

2

3

3

R，
則l=

4

3

3

R，
故圓錐的軸截面為一個等邊三角形，
設圓錐的內接等邊圓柱的底面半徑為r′，
則圓錐的內接等邊圓柱的高為2r′，
則r′=（2

3

-3）r=（2

3

-3）

2

3

3

R=（4-2

3

）R，
則圓錐的內接等邊圓柱的高為（8-4

3

）R，
故圓錐的內接等邊圓柱的體積V=π•（r′）²•2r′=（416-240

3

）πR³

點評：本題考查的知識點是旋轉體，熟練掌握圓錐的表面積公式，球的表面積公式及圓柱的體積公式，是解答的關鍵．