Question

△ABO中，

OA

=

e1

，

OB

=

e2

，且|

e1

|=|

e2

|，設

OC

=

1

2

e1

+

1

2

e2

，

OD

=

1

3

e1

+

2

3

e2

，

OE

=

1

4

e1

+

3

4

e2

（1）求證：A，B，C，D，E五點共線，
（2）指出|

OC

|，|

OD

|，|

OE

|的最小者，并說明理由．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義,向量的模

專題：平面向量及應用

分析：（1）由已知中△ABO中，

OA

=

e1

，

OB

=

e2

，

OC

=

1

2

e1

+

1

2

e2

，可得

AB

=2

AC

，A，B，C三點共線，同理由

OD

=

1

3

e1

+

2

3

e2

，

OE

=

1

4

e1

+

3

4

e2

可得A，B，D三點共線，A，B，E三點共線，進而A，B，C，D，E五點共線，
（2）由|

e1

|=|

e2

|，故△ABO為等腰三角形，則根據點到直線的距離，垂線段最短，可得答案．

解答： 證明：（1）∵△ABO中，

OA

=

e1

，

OB

=

e2

，

OC

=

1

2

e1

+

1

2

e2

，
∴

AB

=

OB

-

OA

=

e2

-

e1

，

AC

=

OC

-

OA

=

1

2

（

e2

-

e1

），
∴

AB

=2

AC

，
∴A，B，C三點共線，
同理由

OD

=

1

3

e1

+

2

3

e2

可得：

AB

=3

AD

，
∴A，B，D三點共線，
由

OE

=

1

4

e1

+

3

4

e2

可得：

AB

=4

AE

，
∴A，B，E三點共線，
綜上，A，B，C，D，E五點共線，
（2）由|

e1

|=|

e2

|，
故△ABO為等腰三角形，
由（1）知，C，D，E分別為AB邊的中點，三等分點和四等分點，且OC⊥AB，
根據點到直線的距離，垂線段最短，可得|

OC

|最小．

點評：本題考查的知識點是向量共線的充要條件，向量模的比較，難度不大，屬于基礎題．