Question

已知拋物線y²=4x的焦點為F，過點F作一條直線l與拋物線交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點
（Ⅰ）求以點F為圓心，且與直線y=x相切的圓的方程
（Ⅱ）從x₁，x₂，|y₁|，|y₂|，1，2中取出三個量，使其構成等比數列，并予以證明．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）明確拋物線的焦點坐標，利用點到直線的距離求圓的方程；
（2）設l 的方程為y=k（x-1），與拋物線方程聯立方程組，消元后利用根與系數的關系可得．

解答： 解：（1）由已知，拋物線的焦點坐標為F（1，0），到直線y=x的距離為r=

2

2

，
所以以點F為圓心，且與直線y=x相切的圓的方程為（x-1）²+y²=

1

2

；
（2）設l 的方程為y=k（x-1），與拋物線方程聯立得

y=k(x-1) y2=4x

，所以k²（x-1）²=4x，即k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
所以x₁•x₂=1，
所以x₁，1，x₂構成等比數列．

點評：本題考查了拋物線的性質以及直線與拋物線的位置關系，關鍵是聯立方程組，利用根與系數的關系解答．