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在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,O分別為DD1,AC的中點,AB=2.
(1)求證:B1O⊥面ACM;
(2)求三棱錐O-AB1M的體積.
考點:棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定
專題:空間位置關系與距離
分析:(1)以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能證明B1O⊥面ACM.
(2)由VO-AB1M=VB1-AMO,利用等積法能求出三棱錐O-AB1M的體積.
解答: (1)證明:以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,
DD1為z軸,建立空間直角坐標系,
則O(1,1,0),B1(2,2,2),A(2,0,0),
C(0,2,0),M(0,0,1),
OB1
=(1,1,2),
AM
=(-2,0,1),
AC
=(-2,2,0),
OB1
AM
=0,
OB1
AC
=0,
∴OB1⊥AM,OB1⊥AC,
又AM∩AC=A,∴B1O⊥面ACM.
(2)解:
AO
=(-1,1,0),
cos<
AM
AO
>=
2
5
2
=
10
5

∴sin∠MAO=
1-(
10
5
)2
=
15
5

∴S△AMO=
1
2
•|
AM
|•|
AO
|•Sin∠AMO 
=
1
2
×
5
×
2
×
15
5
=
6
2

VO-AB1M=VB1-AMO=
1
3
×S△AMO×|
OB1
|
=
1
3
×
6
2
×
6
=1.
點評:本題考查直線與平面垂直的證明,考查三棱錐的體積的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.
練習冊系列答案
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已知點P到點A(1,0),B(a,4)和到直線x=-1的距離都相等,如果這樣的點P有且只有一個,那么實數a等于(  )
A、1B、2
C、2或-2D、1或-1

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知拋物線y2=4x的焦點為F,過點F作一條直線l與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點
(Ⅰ)求以點F為圓心,且與直線y=x相切的圓的方程
(Ⅱ)從x1,x2,|y1|,|y2|,1,2中取出三個量,使其構成等比數列,并予以證明.

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科目:高中數學 來源: 題型:

不等式2x-y-6>0表示的平面區域在直線2x-y-6=0的(  )
A、右上方B、左上方
C、右下方D、左下方

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖所示,是一個多面體ABC-A1B1C1和它的三視圖.

(1)在直觀圖中連接AB1,試證明AB1∥平面C1A1C;
(2)線段CC1上是否存在一點E,使BE⊥平面A1CC1,若不存在,請說明理由,若存在,請找出并證明;
(3)求平面C1A1C與平面A1CA夾角的余弦值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知拋物線y2=4x,直線l:y=-
1
2
x+b與拋物線交于A,B兩點.
(Ⅰ)若x軸與以AB為直徑的圓相切,求該圓的方程;
(Ⅱ)若直線l與y軸負半軸相交,求△AOB面積的最大值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知數列{an}的前n項和Sn=
1
4
an+
3
4
,則{an}的通項公式an=
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點處,極軸與x軸的正半軸重合,直線l的極坐標方程為:ρsin(θ-
π
6
)=
1
2
,曲線C的參數方程為:
x=2+2cosα
y=2sinα
(α為參數).
(I)寫出直線l的直角坐標方程;
(Ⅱ)求曲線C上的點到直線l的距離的最大值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

在如圖所示的多面體中,四邊形ABCD是梯形,∠BAD=∠CDA=90°,四邊形CDEF是矩形,平面ABCD⊥平面CDEF,AB=AD=DE=
1
2
CD=2,M是線段AE的中點.
(I)求證:AC∥平面MDF;
(Ⅱ)平面MDF將該幾何體分成兩部分,求多面體MDFE和多面體ABCDMF的體積之比.

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