Question

如圖所示，是一個多面體ABC-A₁B₁C₁和它的三視圖．

（1）在直觀圖中連接AB₁，試證明AB₁∥平面C₁A₁C；
（2）線段CC₁上是否存在一點E，使BE⊥平面A₁CC₁，若不存在，請說明理由，若存在，請找出并證明；
（3）求平面C₁A₁C與平面A₁CA夾角的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由題意知AA₁，AB，AC兩兩垂直，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明AB₁∥平面C₁A₁C．
（2）設存在一點E，使BE⊥平面A₁CC₁，設

CE

=λ

CC1

，由此利用向量法能求出線段CC₁上存在一點E，滿足

CE

=

2

3

CC1

，使BE⊥平面A₁CC₁．
（3）求出平面C₁A₁C的法向量和平面A₁CA的一個法向量，利用向量法能求出平面C₁A₁C與平面A₁CA夾角余弦值．

解答： （1）證明：由題意知AA₁，AB，AC兩兩垂直，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A（0，0，0），A₁（0，0，2），B（-2，0，0），
B₁ （-2，0，2），C（0，-2，0），C₁（-1，-1，2）（2分）
由

CC1

=（-1，1，2），

A1C1

=（-1，-1，0），

AB1

=（-2，0，2），
設

AB1

=m

A1C1

+n

CC1

，即（-2，0，2）=m（-1，-1，0）+n（-1，1，2）
即

-2=-m-n 0=-m+n 2=0+2n

，解得

m=-1 n=1

，即

AB1

=-

A1C1

+

CC1

，（4分）
即向量

AB1

、

A1C1

、

CC1

共面，
又A₁C₁、CC₁在平面C₁A₁C內，AB₁不在平面C₁A₁C內，
所以AB₁∥平面C₁A₁C．（5分）
（2）解：設存在一點E，使BE⊥平面A₁CC₁，即滿足

BE • CC1 =0 BE • A1C1 =0

，
設

CE

=λ

CC1

，由

CC1

=（-1，1，2），

BC

=（2，-2，0），
得

BE

=（2-λ，-2+λ，2λ）                                         （6分）
又

A1C1

=（-1，-1，0），所以

λ-2-2+λ+4λ=0 λ-2+2-λ+0=0

，解得λ=

2

3

，
所以線段CC₁上存在一點E，滿足

CE

=

2

3

CC1

，
使BE⊥平面A₁CC₁．（8分）
（3）解：設平面C₁A₁C的法向量為

m

=（x，y，z），
則由

m • A1C1 =-x-y=0 m • A1C =-2y-2z=0

，（9分）
取x=1，則y=-1，z=1．故

m

=（1，-1，1），
而平面A₁CA的一個法向量為

n

=（1，0，0），
則cos＜

m

，

n

＞=

1

3

=

3

3

，（11分）
平面C₁A₁C與平面A₁CA夾角余弦值為

3

3

．（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，考查平面與平面的夾角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．