Question

已知

a

=（5

3

cosx，cosx），

b

=（sinx，2cosx），函數f（x）=

a

•

b

+|

b

|²
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）當

π

6

≤x≤

π

2

時，求函數f（x）的值域；
（3）求滿足不等式f（x）≥6的x的集合．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：計算題,三角函數的求值,三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：運用平面向量的數量積的坐標表示和向量模的公式，及二倍角的正弦和余弦公式，以及兩角和的正弦公式，化簡f（x），再由周期公式和正弦函數的圖象和性質，即可得到所求的值域和x的取值集合．

解答： 解：由于f（x）=f（x）=

a

•

b

+|

b

|²
=5

3

sinxcosx+2cos²x+sin²x+4cos²x
=5

3

sinxcosx+sin²x+6cos²x=

5 3

2

sin2x+

1-cos2x

2

+3（1+cos2x）
=

5 3

2

sin2x+

5

2

cos2x+

7

2

=5sin（2x+

π

6

）+

7

2

，
（1）f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由

π

6

≤x≤

π

2

，則

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

則-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1．即有1≤f（x）≤

17

2

 即f（x）的值域為[1，

17

2

]；
（3）由f（x）≥6，即有sin（2x+

π

6

）≥

1

2

，
即為2kπ+

π

6

≤2x+

π

6

≤2kπ+

5π

6

，k∈Z，
則有kπ≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z）．
則滿足不等式f（x）≥6的x的集合為[kπ，kπ+

π

3

]（k∈Z）．

點評：本題考查平面向量的數量積的坐標表示和性質，考查三角函數的化簡和求值，考查正弦函數的周期和值域，考查運算能力，屬于中檔題．