Question

在如圖所示的多面體中，四邊形ABCD是梯形，∠BAD=∠CDA=90°，四邊形CDEF是矩形，平面ABCD⊥平面CDEF，AB=AD=DE=

1

2

CD=2，M是線段AE的中點．
（I）求證：AC∥平面MDF；
（Ⅱ）平面MDF將該幾何體分成兩部分，求多面體MDFE和多面體ABCDMF的體積之比．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（I）證連結CE，交DE于N，連結MN，由此得MN∥AC，由此能求出AC∥平面MDF．
（II）將多面體ABCDEF補成三棱柱ADE-B'CF，由此能求三棱柱的體積，V_{多面體ABCDEF}=V三棱柱ADE-BCF-VF-BB′C，三棱錐F-DEM的體積V_M-DEF=

4

3

，由此能求出多面體MDFE和多面體ABCDMF的體積之比．

解答： （I）證明：連結CE，交DE于N，連結MN，
由題意知N為CE的中點，
在△ACE中，MN∥AC，…（3分）
且MN?面MDF，AC?平面MDF，
∴AC∥平面MDF．…（6分）
（II） 解：將多面體ABCDEF補成三棱柱ADE-B'CF，如圖，
則三棱柱的體積為：
V=S_△ADE•CD=

1

2

×2×2×4=8，…（8分）
則V_{多面體ABCDEF}=V三棱柱ADE-BCF-VF-BB′C
=8-

4

3

=

20

3

．…（10分）
而三棱錐F-DEM的體積V_M-DEF=

4

3

，
∴多面體MDFE和多面體ABCDMF的體積之比為

VM-DEF

VABCDEF

=

1

5

．…（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查多面體MDFE和多面體ABCDMF的體積之比的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．