Question

已知拋物線y²=4x，直線l：y=-

1

2

x+b與拋物線交于A，B兩點．
（Ⅰ）若x軸與以AB為直徑的圓相切，求該圓的方程；
（Ⅱ）若直線l與y軸負半軸相交，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）聯立

y=- 1 2 x+b y2=4x

得y²+8y-8b=0．由此利用根的判別式、弦長公式，結合已知條件能求出圓的方程．
（Ⅱ）由直線l與y軸負半軸相交，得-1＜b＜0，由點O到直線l的距離d=

-2b

5

，得S_△AOB=

1

2

|AB|d=4

2

b3+2b2

．由此利用導數性質能求出△AOB的面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）聯立

y=- 1 2 x+b y2=4x

得：y²+8y-8b=0．
依題意應有△=64+32b＞0，解得b＞-2．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
設圓心Q（x₀，y₀），則應有x₀=

x1+x2

2

，y₀=

y1+y2

2

=-4．
因為以AB為直徑的圓與x軸相切，得到圓半徑為r=|y₀|=4，
又|AB|=

(1+4)[(y1+y2)2-4y1•y2]

=

5(64+32b)

．
所以|AB|=2r，
即

5(64+32b)

=8，
解得b=-

8

5

．
所以x₀=

x1+x2

2

=2b+8=

24

5

，
所以圓心為（

24

5

，-4）．
故所求圓的方程為（x-

24

5

）²+（y+4）²=16．．
（Ⅱ）因為直線l與y軸負半軸相交，
∴b＜0，
又l與拋物線交于兩點，由（Ⅰ）知b＞-2，
∴-2＜b＜0，
直線l：y=-

1

2

x+b整理得x+2y-2b=0，點O到直線l的距離d=

|-2b|

5

=

-2b

5

，
所以∴S_△AOB=

1

2

|AB|d=-4b

2

2+b

=4

2

b3+2b2

．  
令g（b）=b³+2b²，-2＜b＜0，
g′（b）=3b²+4b=3b（b+

4

3

），
∴g（b）在（-2，-

4

3

）增函數，在（-

4

3

，0）是減函數，
∴g（b）的最大值為g（-

4

3

）=

32

27

．
∴當b=-

4

3

時，△AOB的面積取得最大值

32 3

9

．

點評：本題主要考查圓的方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，考查直線與拋物線、圓等知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力．