Question

設

m

=（2sinx，

3

cosx），

n

=（asinx，-2asinx）．記函數f（x）=

m

•

n

+b，已知函數f（x）的定義域為[0，

π

2

]，值域為[-5，4]．求a，b的值．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,分類討論,三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：運用平面向量的數量積公式，利用二倍角公式和兩角和的正弦公式，化簡f（x）的解析式為-2asin（2x+

π

6

）+a+b，分a＞0和a＜0，根據函數的值域分別求出a、b的值．

解答： 解：由于

m

=（2sinx，

3

cosx），

n

=（asinx，-2asinx）．
則函數f（x）=

m

•

n

+b=2asin²x-2

3

asinxcosx+b
即有f（x）=a（1-cos2x）-

3

sin2x+b
=-a（cos2x+

3

sin2x）+a+b=-2asin（2x+

π

6

）+a+b．
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]．
顯然a=0不合題意．
當a＞0時，值域為[b-a，b+2a]，即

b-a=-5 b+2a=4

，解得

a=3 b=-2

；
當a＜0時，值域為[b+2a，b-a]，即

b-a=4 b+2a=-5

，解得

a=-3 b=1

． 
綜上可得，a=3，b=-2或a=-3，b=1．

點評：本題主要考查正弦函數的定義域和值域，三角函數的恒等變換及化簡求值，求出a、b的值，是解題的關鍵，屬于中檔題．