Question

已知向量

m

=（sin（x+

π

6

），1），

n

=（4，0），設f（x）=

m

•

n

．
（1）求函數f（x）的解析式及周期；
（2）求函數f（x），x∈[-π，π]的單調遞增區間；
（3）設函數h（x）=f（x）-k（k∈R）在區間[-π，π]上的零點的個數為n，試探求n的值及相應的k的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,函數零點的判定定理,根的存在性及根的個數判斷,三角函數中的恒等變換應用

專題：計算題,數形結合,函數的性質及應用,三角函數的圖像與性質

分析：（1）運用向量的數量積的坐標表示，及正弦函數的周期即可得到；
（2）運用正弦函數的單調增區間，解不等式，再由k的取值，即可得到；
（3）函數h（x）=f（x）-k（k∈R）在區間[-π，π]上的零點的個數即為方程f（x）=k的根的個數，
畫出y=f（x）在區間[-π，π]的圖象和直線y=k，通過圖象觀察即可得到．

解答： 解：（1）由于向量

m

=（sin（x+

π

6

），1），

n

=（4，0），
f（x）=

m

•

n

=4sin（x+

π

6

），
周期T=2π；
（2）令2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，
即有2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

，k∈Z，
可令k=0，則-

2π

3

≤x≤

π

3

，由于[-

2π

3

，

π

3

]⊆[-π，π]，
則f（x）的單調遞增區間為[-

2π

3

，

π

3

]；
（3）函數h（x）=f（x）-k（k∈R）
在區間[-π，π]上的零點的個數即為方程f（x）=k的根的個數，
畫出y=f（x）在區間[-π，π]的圖象和直線y=k，
當k＞4或k＜-4時，沒有交點，則零點個數為n=0；
當k=4或-4，有一個交點，則n=1；
當k=-2，有3個交點，則n=3；
當-4＜k＜-2或-2＜k＜4，均有2個交點，則n=2．

點評：本題考查平面向量的數量積的坐標表示，考查三角函數的周期和單調性，及函數的圖象的交點個數，考查數形結合的能力，屬于中檔題和易錯題．