Question

過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點F做一條斜率小于0的直線，且該直線與一條漸近線垂直，垂足為點A，與另一條漸近線交于點B，

FB

=2

FA

，則此雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,平面向量及應用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由向量的共線定理可得A為FB的中點，OA為FB的垂直平分線，運用等腰三角形的知識，再由F到直線OA的距離即為b，求得OA=a，再由漸近線的對稱性，即可得到∠AOF=60°，由離心率公式，結合解直角三角形即可得到所求值．

解答： 解：如圖，

FB

=2

FA

，則A為FB的中點，
OA為FB的垂直平分線，
則|OB|=|OF|=c，
由漸近線y=

b

a

x，F（c，0），
|AF|=

| bc a |

1+ b2 a2

=b，
即有|OA|=

c2-b2

=a，
由于∠AOF=∠AOB=∠BOH=60°，
則離心率e=

c

a

=

1

cos60°

=2．
故答案為：2．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質，考查平面向量的共線定理，考查單調直線的距離公式，考查等腰三角形的性質和解直角三角形的知識，注意運用幾何法，可簡化運算過程，屬于中檔題．