Question

（文科做）如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，E，F分別在BC，AD上，EF∥AB現將四邊形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF⊥平面EFDC．
（1）設BE=x，問當x為何值時，三棱錐A-CDF的體積有最大值？并求出這個最大值．
（2）當BE=1，是否在折疊后的AD上存在一點P，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出AP的長，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知得AF⊥平面EFDC．由已知BE=x，從而AF=x（0＜x＜4），FD=6-x．由此能求出x=3時，V_A-CDF有最大值3．
（2）存在P使得滿足條件CP∥平面ABEF，且此時λ=

3

2

．當λ=

3

2

時，

AP

=

3

2

PD

，

AP

AD

=

3

5

，過點P作MP∥FD，與AF交于點M，四邊形MPCE為平行四邊形，由此能推導出CP∥平面ABEF．

解答： （文科做）（本題滿分10分）
解：（1）因為平面ABEF⊥平面EFDC，
平面ABEF∩平面EFDC=EF，又AF⊥EF，
所以AF⊥平面EFDC．由已知BE=x，
所以AF=x（0＜x＜4），FD=6-x．
故VA-CDF=

1

3

×

1

2

×2×(6-x)×x
=

1

3

×(6x-x2)
=

1

3

[-(x-3)2+9]
=-

1

3

(x-3)2+3．
所以，當x=3時，V_A-CDF有最大值，最大值為3．
（2）存在P使得滿足條件CP∥平面ABEF，且此時λ=

3

2

．
下面證明：
當λ=

3

2

時，即此時

AP

=

3

2

PD

，可知

AP

AD

=

3

5

，
過點P作MP∥FD，與AF交于點M，
則有

MP

FD

=

3

5

，又FD=5，故MP=3，
又因為EC=3，MP∥FD∥EC，
故有MP

∥

.

EC，故四邊形MPCE為平行四邊形，
所以PC∥ME，又CP?平面ABEF，ME?平面ABEF，
故有CP∥平面ABEF成立．

點評：本題考查線段長為多少時三棱錐A-CDF的體積有最大值的求法，考查使得CP∥平面ABEF的線段是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．