Question

如圖，直線PA與圓O相切于點A，PBC是過點O的割線，∠APC的角平分線交AC于點E，交AB于點D，點H是線段ED的中點，連接AH并延長PC交于點F．證明：A，E，F，D四點共圓．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段

專題：選作題,立體幾何

分析：連接EF，證明EF∥AB，再證明∠AFE=∠ADE，即可證明A，E，F，D四點共圓．

解答： 證明：連接EF，則
∵直線PA與圓O相切于點A，PBC是過點O的割線，∠APC的角平分線交AC于點E，
∴∠PAB=∠PCA，∠APE=∠CPE，
∴∠ADP=∠PEC，△PAC∽△PBA
∴∠AED=∠ADE，

AC

AB

=

PC

PA

∵點H是線段ED的中點，
∴AF平分∠CAB，
∴

CF

FB

=

AC

AB

，
∵∠APC的角平分線交AC于點E，
∴

CE

EA

=

PC

PA

∴

CE

EA

=

CF

FB

，
∴EF∥AB，
∵AB⊥AC，
∴EF⊥AC，
∴∠AEH=∠AFE，
∴∠AFE=∠ADE，
∴A，E，F，D四點共圓．

點評：本小題主要考查與圓有關的比例線段、四點共圓的證明方法、三角形相似等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于中檔題．