Question

在△OAB中，已知P為線段AB上一點，

OP

=x

OA

+y

OB

，

BP

=λ

PA

（λ為實數），OA=4，OB=2，∠AOB=60°
（1）當λ=1時，求x，y的值；
（2）當λ=3時，求

OP

•

AB

的值；
（3）當2≤λ≤3時，求

OP

•

AB

的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,平面向量及應用

分析：（1）運用中點的向量表示，即可得到x，y；
（2）運用向量的三角形法則和向量的定比表示，及向量的數量積的定義，計算即可得到；
（3）運用向量的數量積的定義和性質，化簡整理，再由分離變量法，結合條件即可得到所求范圍．

解答： 解：（1）當λ=1時，

BP

=

PA

，P為AB的中點，
則

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），則x=y=

1

2

；
（2）當λ=3時，

BP

=3

PA

，
則

OP

-

OB

=3（

OA

-

OP

），
即有

OP

=

1

4

（3

OA

+

OB

），

OP

•

AB

=

1

4

（3

OA

+

OB

）•（

OB

-

OA

）
=

1

4

（

OB

2-3

OA

2+2

OA

•

OB

）
=

1

4

×（4-3×16+2×4×2×

1

2

）=-9；
（3）由于

BP

=λ

PA

（λ為實數），
則

OP

-

OB

=λ（

OA

-

OP

），
則

OP

=

OB +λ OA

1+λ

，
即有

OP

•

AB

=

1

1+λ

（

OB

+λ

OA

）•（

OB

-

OA

）
=

1

1+λ

（

OB

2-λ

OA

2+λ

OA

•

OB

-

OA

•

OB

）
=

1

1+λ

（4-16λ+4λ-4）=-

12λ

1+λ

=-12（1-

1

1+λ

）
=-12+

12

1+λ

．
當2≤λ≤3時，即有3≤λ+1≤4，
即3≤

12

1+λ

≤4，
則有-9≤-12+

12

1+λ

≤-8．
則

OP

•

AB

的取值范圍為[-9，-8]．

點評：本題考查中點的向量表示，考查向量的數量積的定義和性質，考查運算能力，屬于中檔題．