Question

已知橢圓

x2

9

+

y2

5

=1的左、右焦點分別為F₁、F₂，P是橢圓上的一點，且∠F₁PF₂=60°，則△PF₁F₂的面積是

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,解三角形,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：依題意，在△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=60°，|F₁P|+|PF₂|=2a=6，|F₁F₂|=4，利用余弦定理可求得|F₁P|•|PF₂|的值，從而可求得△PF₁F₂的面積．

解答： 解：∵橢圓的方程為

x2

9

+

y2

5

=1，
∴a=3，b=

5

，c=2．
又∵P為橢圓上一點，∠F₁PF₂=60°，F₁、F₂為左、右焦點，
∴|F₁P|+|PF₂|=2a=6，|F₁F₂|=4，
∴|F₁F₂|²=（|PF₁|+|PF₂|）²-2|F₁P|•|PF₂|-2|F₁P|•|PF₂|cos60°
=36-3|F₁P|•|PF₂|=16，
∴|F₁P|•|PF₂|=

20

3

，
∴S△PF1F2=

1

2

|F₁P|•|PF₂|sin60°
=

1

2

×

20

3

×

3

2

=

5 3

3

．
故答案為：

5 3

3

．

點評：本題考查橢圓的簡單性質，考查余弦定理的應用與三角形的面積公式，屬于中檔題．