Question

平面內動點P（x，y）到定點F（1，0）的距離比它到y軸的距離大l．
（1）求動點P的軌跡ABCD的方程；
（2）已知點A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值及此時P點的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意，動點P（x，y）到定點F（1，0）的距等于它到x=-1的距離，當動點不在直線上時，由拋物線的定義知P的軌跡為拋物線，動點在直線上時，其軌跡為y=0（x≤0），求出即可，．
（2）設點P在準線上的射影為D，記拋物線y²=2x的焦點為F（1，0），準線l是x=-1，由拋物線的定義可得|PF|=|PD|，當D，P，M三點共線時PA+PD最小，即可得出．

解答： 解：（1）由題意，動點P（x，y）到定點F（1，0）的距等于它到x=-1的距離，
當動點不在直線上時，由拋物線的定義知P的軌跡為拋物線，設拋物線方程為：y²=2px（p＞0）．
則p=2，
∴所求的軌跡方程為y²=4x．
當動點在直線上時，其軌跡為y=0（x≤0）．
（2）設點P在準線上的射影為D，記拋物線y²=2x的焦點為F（1，0），準線l是x=-1，
由拋物線的定義可得：|PF|=|PD|，
因此PA+PF=PA+PD≥AD=4，即當D，P，M三點共線時PA+PD最小，
此時P（1，2）．

點評：本題考查了拋物線的定義標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．