Question

雙曲線C的焦點分別為F₁（-2

2

，0），F₂（2

2

，0），且雙曲線C經過點P（4

2

，2

7

）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設O為坐標原點，若點A在雙曲線C上，點B在直線x=

2

上，且

OA

•

OB

=0，是點O為圓心的定圓恒與直線AB相切？若存在，求出該圓的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,雙曲線的標準方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，由已知得

32

a2

-

28

b2

=1，b²=8-a²，由此能求出雙曲線C的方程．
（2）設點A，B的坐標分別為（x₀，y₀），（

2

，t），其中x₀＞2，或x₀＜-2．當y₀≠t時，直線AB的方程為（y₀-t）x-（x0-

2

）y+tx₀-

2

y0=0，由此利用點到直線距離公式、弦長公式、韋達定理，利用已知條件能求出圓的方程．

解答： 解：（1）依題意知雙曲線C的焦點在x軸，設其方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，（1分）
∵點P（4

2

，2

7

）在雙曲線C上，
∴

32

a2

-

28

b2

=1，①
又b²=8-a²，②
②代入①去分母整理得：a⁴-68a²+32×8=0，
又a＜c，解得a²=4，b²=4，（3分）
∴所求雙曲線C的方程為

x2

4

-

y2

4

=1．（4分） 
（2）設點A，B的坐標分別為（x₀，y₀），（

2

，t），其中x₀＞2，或x₀＜-2．（5分）
當y₀≠t時，直線AB的方程為y-t=

y0-t

x0- 2

（x-

2

），
即（y₀-t）x-（x0-

2

）y+tx₀-

2

y0=0，（6分），
若存在以點O為圓心的定圓與AB相切，則點O到直線AB的距離必為定值，
設圓心O到直線AB的距離為d，則d=

|tx0- 2 y0|

(y0-t)2+(x0- 2 )2

．（7分）
∵y₀≠0，∴t=-

2 x0

y0

，（8分）
又x02-y02=4，∴d=

|- 2 x02 y0 - 2 y0|

(y0+ 2 x0 y0 )2+x02-2 2 x02+2

=

2 2 | y02+2 y0 |

2y04+8y02+8 2y02

=

2 2 | y02+2 y0 |

2(y02+2)2 y02

=

2 2 •| y02+2 y0 |

2 | y02+2 y0 |

=2，（11分）
此時直線AB與圓x²+y²=4相切，（12分）
當y₀=t時，x0=-

t2

2

，代入雙曲線C的方程并整理得t⁴-2t²-8=0，
即（t²-4）（t²+2）=0，解得t=±2，
此時直線AB：y=±2．也與圓x²+y²=4也相切．（13分）
綜上得存在定圓x²+y²=4與直線AB相切．（14分）

點評：本題考查雙曲線方程的求法，考查滿足條件的圓是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意點到直線距離公式、弦長公式、韋達定理的合理運用．