Question

已知函數f（x）=

sinx，x∈[0，2] 1 2 f(x-2)，x∈(2，+∞)

有下列說法：
①函數f（x）對任意x₁，x₂∈[0，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2成立
②函數f（x）在[

1

2

（4n-3），

1

2

（4n-1）]（n∈N•）上單調遞減；
③函數y=f（x）-log₂x+1在（0，+∞）上有3個零點；
④當k∈[

8

7

，+∞）時，對任意x＞0，不等式f（x）≤

k

x

都成立．
其中正確的說法的個數是（　　）

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用

分析：作函數f（x）=

sinx，x∈[0，2] 1 2 f(x-2)，x∈(2，+∞)

的圖象，由圖象對四個命題判斷．

解答： 解：作函數f（x）=

sinx，x∈[0，2] 1 2 f(x-2)，x∈(2，+∞)

的圖象如下，

由圖可知，
①函數f（x）對任意x₁，x₂∈[0，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2成立，正確；
②函數f（x）在（2n，2n+

π

2

]，（n∈N）上是增函數，故在[

1

2

（4n-3），

1

2

（4n-1）]（n∈N•）上也單調遞增；故不正確；
③函數y=f（x）-log₂x+1在（0，+∞）上有3個零點即y=f（x）與y=log₂x-1的交點個數，
作y=f（x）與y=log₂x-1的圖象如下，

沒有交點，故沒有零點；故不正確；
④f（x）≤

k

x

可化為xf（x）≤k，作y=xf（x）的圖象如下，

當k∈[

8

7

，+∞）時，對任意x＞0，不等式f（x）≤

k

x

都成立顯然不正確．
故選D．

點評：本題考查了函數的圖象的作法與應用，屬于中檔題．