Question

16．已知函數f（x）=x³+x，g（x）=f（x）-ax（a∈R）．
（1）當a=4時，求函數g（x）的極大值；
（2）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線l的方程；
（3）若函數g（x）在[0，1]上無極值，且g（x）在[0，1]上的最大值為3，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出g（x），求出導函數，根據導函數得出函數的極值即可；
（2）求出導函數，根據導函數和切線方程的關系求解即可；
（3）求出g'（x）=3x²+1-a，函數g（x）在[0，1]上無極值，得出1-a≥0或4-a≤0，分類討論即可．

解答 解：（1）g（x）=x³-3x，
∴g'（x）=3x²-3，
當-1＜x＜1時，g'（x）＜0，當x＜-1或s＞1時，g'（x）＞0，
∴g（x）的極大值為g（-1）=2；
（2）f'（x）=3x²+1，f'（1）=4，f（1）=2，
∴切線l的方程為y-2=4（x-1），即y=4x-2；
（3）g'（x）=3x²+1-a，
當1-a≥0時，g'（x）≥0，g（x）遞增；
∴最大值為g（1）=2-a=3，a=-1；
當4-a≤0時，g'（x）≤0，g（x）遞減；
∴最大值為g（0）=0≠3，
綜上a=-1．

點評 本題考查了導函數的基本應用，屬于基礎題型，應熟練掌握．