Question

6．已知△ABC的外心為O，|AB|=2，|AC|=4，M是BC中點，則$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AM}$=5．

Answer 1

分析 過點O分別作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，可得E、F分別是AB、AC的中點．根據Rt△AOE中余弦的定義，分別求出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AO}$=2，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AO}$=8，代入計算即可得出．

解答 解：過點O分別作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，則E、F分別是AB、AC的中點
可得Rt△AEO中，cos∠OAE=$\frac{|\overrightarrow{AE|}}{|\overrightarrow{AO}|}$=$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{2|\overrightarrow{AO}|}$
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AO}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AO}$|•=$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{2|\overrightarrow{AO}|}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|²=2，
同理可得$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|²=8
∵M是BC邊的中點，可得$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AO}$）=$\frac{1}{2}$×10=5，
故答案為：5

點評 本題為向量數量積的運算，數形結合并熟練應用數量積的定義是解決問題的關鍵，屬中檔題．