Question

6．對于一組向量$\overrightarrow{{a}_{1}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{3}}$，…，$\overrightarrow{{a}_{n}}$（n∈N^*），令$\overrightarrow{{S}_{n}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$，如果存在$\overrightarrow{{a}_{p}}$（p∈{1，2，3，…，n}，使得|$\overrightarrow{{a}_{p}}$|≥|$\overrightarrow{{S}_{n}}$-$\overrightarrow{{a}_{p}}$|，那么稱$\overrightarrow{{a}_{p}}$是該向量組的“h向量”．
（1）設$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（n，x+n）（n∈N^*），若$\overrightarrow{{a}_{3}}$是向量組$\overrightarrow{{a}_{1}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{3}}$的“h向量”，求實數x的取值范圍；
（2）若$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（（$\frac{1}{3}$）^n-1•（-1）ⁿ（n∈N^*），向量組$\overrightarrow{{a}_{1}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{3}}$，…，$\overrightarrow{{a}_{n}}$是否存在“h向量”？給出你的結論并說明理由；
（3）已知$\overrightarrow{{a}_{1}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{3}}$均是向量組$\overrightarrow{{a}_{1}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{3}}$的“h向量”，其中$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{{a}_{2}}$=（2cosx，2sinx）．設在平面直角坐標系中有一點列Q₁．Q₂，Q₃，…，Q_n滿足：Q₁為坐標原點，Q₂為$\overrightarrow{{a}_{3}}$的位置向量的終點，且Q_2k+1與Q_2k關于點Q₁對稱，Q_2k+2與Q_2k+1（k∈N^*）關于點Q₂對稱，求|$\overrightarrow{{Q}_{2013}{Q}_{2014}}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由“h向量”的定義可知：丨$\overrightarrow{{a}_{3}}$丨＞丨$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$丨，可得$\sqrt{9+（x+3）^{2}}$≥$\sqrt{9+（2x+3）^{2}}$，即可求得實數x的取值范圍；
（2）由$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（1，-1），丨$\overrightarrow{{a}_{1}}$丨=$\sqrt{2}$，當n為奇數時，$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（$\frac{\frac{1}{3}[1-（\frac{1}{3}）^{n-1}]}{1-\frac{1}{3}}$，0）=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$）^n-1，0），丨$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$丨=$\sqrt{[\frac{1}{2}-\frac{1}{2}（\frac{1}{3}）^{n-1}]^{2}+{0}^{2}}$＜$\frac{1}{2}$＜$\sqrt{2}$，同理當n為偶數時，$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{3}$）^n-1，1），即可求得丨$\overrightarrow{{a}_{1}}$丨＞丨$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$丨，$\overrightarrow{{a}_{1}}$因此是向量組$\overrightarrow{{a}_{1}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{3}}$，…，$\overrightarrow{{a}_{n}}$的“h向量”；
（3）由題意可得：丨$\overrightarrow{{a}_{1}}$丨²＞丨$\overrightarrow{{a}_{2}}$丨²+丨$\overrightarrow{{a}_{3}}$丨²+2丨$\overrightarrow{{a}_{2}}$丨•丨$\overrightarrow{{a}_{3}}$丨，丨$\overrightarrow{{a}_{2}}$丨²＞丨$\overrightarrow{{a}_{1}}$丨²+丨$\overrightarrow{{a}_{3}}$丨²+2丨$\overrightarrow{{a}_{1}}$丨•丨$\overrightarrow{{a}_{3}}$丨，丨$\overrightarrow{{a}_{3}}$丨²＞丨$\overrightarrow{{a}_{1}}$丨²+丨$\overrightarrow{{a}_{2}}$丨²+2丨$\overrightarrow{{a}_{1}}$丨•丨$\overrightarrow{{a}_{2}}$丨，
以上各式相加，整理可得：丨$\overrightarrow{{a}_{1}}$丨+丨$\overrightarrow{{a}_{2}}$丨+丨$\overrightarrow{{a}_{3}}$丨=0，設$\overrightarrow{{a}_{3}}$=（u，v），由丨$\overrightarrow{{a}_{1}}$丨+丨$\overrightarrow{{a}_{2}}$丨+丨$\overrightarrow{{a}_{3}}$丨=0，得：$\left\{\begin{array}{l}{u=-sinx-2cosx}\\{v=-cosx-2sinx}\end{array}\right.$，根據向量相等可知：（x_2k+2，y_2k+2）=2k[（x₂，y₂）-（x₁，y₁）]+（x₂，y₂），（x_2k+1，y_2k+1）=-2k[（x₂，y₂）-（x₁，y₁）]+（x₂，y₂），可知：Q_2k+1•Q_2k+2=（x_2k+2-x_2k+1，y_2k+2-y_2k+1）=4k[（x₂，y₂）-（x₁，y₁）]=4kQ₁•Q₂，由向量的模長公式即可求得丨Q₁•Q₂丨最小值，即可求得|$\overrightarrow{{Q}_{2013}{Q}_{2014}}$|的最小值．

解答 解：（1）由題意，得：丨$\overrightarrow{{a}_{3}}$丨＞丨$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$丨，則$\sqrt{9+（x+3）^{2}}$≥$\sqrt{9+（2x+3）^{2}}$…..2’
解得：-2≤x≤0； …..4’
（2）$\overrightarrow{{a}_{1}}$是向量組$\overrightarrow{{a}_{1}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{3}}$，…，$\overrightarrow{{a}_{n}}$的“h向量”，證明如下：
$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（1，-1），丨$\overrightarrow{{a}_{1}}$丨=$\sqrt{2}$，

當n為奇數時，$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（$\frac{\frac{1}{3}[1-（\frac{1}{3}）^{n-1}]}{1-\frac{1}{3}}$，0）=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$）^n-1，0），…..6’
∵0≤$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$）^n-1＜$\frac{1}{2}$，故丨$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$丨=$\sqrt{[\frac{1}{2}-\frac{1}{2}（\frac{1}{3}）^{n-1}]^{2}+{0}^{2}}$＜$\frac{1}{2}$＜$\sqrt{2}$，…8’
即丨$\overrightarrow{{a}_{1}}$丨＞丨$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$丨
當n為偶數時，$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{3}$）^n-1，1），
故丨$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$丨=$\sqrt{[\frac{1}{2}-\frac{1}{2}•（\frac{1}{3}）^{n-1}]^{2}+{1}^{2}}$＜$\sqrt{\frac{5}{4}}$＜$\sqrt{2}$，
即丨$\overrightarrow{{a}_{1}}$丨＞丨$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$丨
綜合得：$\overrightarrow{{a}_{1}}$是向量組$\overrightarrow{{a}_{1}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{3}}$，…，$\overrightarrow{{a}_{n}}$的“h向量”，證明如下：”…..10’
（3）由題意，得丨$\overrightarrow{{a}_{1}}$丨＞丨$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$丨，丨$\overrightarrow{{a}_{1}}$丨²＞丨$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$丨²，即（丨$\overrightarrow{{a}_{1}}$丨）²≥（丨$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$丨）²，
即丨$\overrightarrow{{a}_{1}}$丨²＞丨$\overrightarrow{{a}_{2}}$丨²+丨$\overrightarrow{{a}_{3}}$丨²+2丨$\overrightarrow{{a}_{2}}$丨•丨$\overrightarrow{{a}_{3}}$丨，
同理丨$\overrightarrow{{a}_{2}}$丨²＞丨$\overrightarrow{{a}_{1}}$丨²+丨$\overrightarrow{{a}_{3}}$丨²+2丨$\overrightarrow{{a}_{1}}$丨•丨$\overrightarrow{{a}_{3}}$丨，丨$\overrightarrow{{a}_{3}}$丨²＞丨$\overrightarrow{{a}_{1}}$丨²+丨$\overrightarrow{{a}_{2}}$丨²+2丨$\overrightarrow{{a}_{1}}$丨•丨$\overrightarrow{{a}_{2}}$丨，
三式相加并化簡，得：0≥丨$\overrightarrow{{a}_{1}}$丨²+丨$\overrightarrow{{a}_{2}}$丨²+丨$\overrightarrow{{a}_{3}}$丨²+2丨$\overrightarrow{{a}_{2}}$丨•丨$\overrightarrow{{a}_{3}}$丨+2丨$\overrightarrow{{a}_{1}}$丨•丨$\overrightarrow{{a}_{3}}$丨+2丨$\overrightarrow{{a}_{1}}$丨•丨$\overrightarrow{{a}_{2}}$丨，
即（丨$\overrightarrow{{a}_{1}}$丨+丨$\overrightarrow{{a}_{2}}$丨+丨$\overrightarrow{{a}_{3}}$丨）²≤0，丨丨$\overrightarrow{{a}_{1}}$丨+丨$\overrightarrow{{a}_{2}}$丨+丨$\overrightarrow{{a}_{3}}$丨丨≤0，
∴丨$\overrightarrow{{a}_{1}}$丨+丨$\overrightarrow{{a}_{2}}$丨+丨$\overrightarrow{{a}_{3}}$丨=0，…..13’
設$\overrightarrow{{a}_{3}}$=（u，v），由丨$\overrightarrow{{a}_{1}}$丨+丨$\overrightarrow{{a}_{2}}$丨+丨$\overrightarrow{{a}_{3}}$丨=0，得：$\left\{\begin{array}{l}{u=-sinx-2cosx}\\{v=-cosx-2sinx}\end{array}\right.$，
設Q_n（x_n，y_n），則依題意得：$\left\{\begin{array}{l}{（{x}_{2k+1}，{y}_{2k+1}）=2（{x}_{1}，{y}_{1}）-（{x}_{2k}，{y}_{2k}）}\\{{（x}_{2k+2}，{y}_{2k+2}）=2（{x}_{2}，{y}_{2}）-（{x}_{2k+1}，{y}_{2k+1}）}\end{array}\right.$，
得（x_2k+2，y_2k+2）=2k[（x₂，y₂）-（x₁，y₁）]+（x_2k，y_2k），
故（x_2k+2，y_2k+2）=2k[（x₂，y₂）-（x₁，y₁）]+（x₂，y₂），
（x_2k+1，y_2k+1）=-2k[（x₂，y₂）-（x₁，y₁）]+（x₂，y₂），
∴Q_2k+1•Q_2k+2=（x_2k+2-x_2k+1，y_2k+2-y_2k+1）=4k[（x₂，y₂）-（x₁，y₁）]=4kQ₁•Q₂，…16’
丨Q₁•Q₂丨²=丨$\overrightarrow{{a}_{3}}$丨²=（-sinx-2cosx）²+（-cosx-2sinx）²=5+8sinxcosx=5+4sin2x≥1，
當且僅當x=kπ-$\frac{π}{4}$，（k∈Z）時等號成立，
故|$\overrightarrow{{Q}_{2013}{Q}_{2014}}$|的最小值4024．

點評 本題考查向量的新定義的應用，考查等比數列前n項和的應用，向量的加法及模長公式，考查正弦函數的最值，考查分析問題及解決問題的能力，屬于難題．