Question

2．函數f（x）=lnx+$\frac{1}{2}{x^2}$+ax存在與直線3x-y=0平行的切線，則實數a的取值范圍是（-∞，1]．

Answer 1

分析 函數f（x）=lnx+$\frac{1}{2}{x^2}$+ax存在與直線3x-y=0平行的切線?方程f′（x）=$\frac{1}{x}$+x+a在區間x∈（0，+∞）上有解，求出a=3-（x+$\frac{1}{x}$）右邊的范圍，運用基本不等式即可得到．

解答 解：函數f（x）=lnx+$\frac{1}{2}{x^2}$+ax的導數為f′（x）=$\frac{1}{x}$+x+a（x＞0），
∵函數f（x）=lnx+$\frac{1}{2}{x^2}$+ax存在與直線3x-y=0平行的切線，
∴方程 $\frac{1}{x}$+x+a=3在區間x∈（0，+∞）上有解．
即a=3-（x+$\frac{1}{x}$）在區間x∈（0，+∞）上有解．
由x＞0，x+$\frac{1}{x}$$≥2\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，
∴a≤3-2=1．
故答案為：（-∞，1]．

點評 本題考查了導數的幾何意義、切線的斜率、相互平行的直線之間的斜率關系、存在性問題的等價轉化等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．