Question

17．已知F₁、F₂分別為雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦點，若雙曲線C右支上一點P滿足|PF₁|=3|PF₂|且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=a²，則雙曲線C的離心率為（　　）

• A． 3
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設|PF₂|=t，則|PF₁|=3t，利用雙曲線的定義，可得t=a，利用余弦定理可得cos∠F₁PF₂，再利用數量積公式，即可求出雙曲線C的離心率．

解答 解：設|PF₂|=t，則|PF₁|=3t，∴3t-t=2a，
∴t=a，
由余弦定理可得cos∠F₁PF₂=$\frac{9{a}^{2}+{a}^{2}-4{c}^{2}}{2×3a×a}$=$\frac{5{a}^{2}-2{c}^{2}}{3{a}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=a²，
∴3a•a•$\frac{5{a}^{2}-2{c}^{2}}{3{a}^{2}}$=a²，
∴c=$\sqrt{2}$a，
∴e=$\sqrt{2}$．
故選D

點評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質，考查了雙曲線的定義、余弦定理的運用，考查向量的數量積公式，屬于中檔題．