Question

7．函數$f（x）=\frac{a}{3}{x^3}+b{x^2}+cx+d\;\;（{a＞0}）$，且方程f'（x）-9x=0的兩個根分別為1，4．
（1）當a=3且曲線y=f（x）過原點時，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在R上單調，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 先對函數f（x）進行求導，然后代入f′（x）-9x=0中，再由方程有兩根1、4可得兩等式；
（1）將a的值代入即可求出b，c的值，再由f（0）=0可求d的值，進而確定函數解析式；
（2）函數f（x）是單調函數，且可判斷是單調增函數，再由導函數大于等于0在R上恒成立可解．

解答 解：f′（x）=ax²+2bx+c    …（1分）
因為f′（x）-9x=0的兩個根分別為1，4，
所以$\left\{\begin{array}{l}{a+2b+c-9=0}\\{16a+8b+c-36=0}\end{array}\right.$   （*）   （或：$\left\{\begin{array}{l}1+4=\frac{9-2b}{a}\\ 1×4=\frac{c}{a}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}2b=9-5a\\ c=4a\end{array}\right.$）…（3分）
（1）當a=3時，由（*）式得$\left\{\begin{array}{l}{2b+c-6=0}\\{8b+c+12=0}\end{array}\right.$，解得：b=-3，c=12（或：$\left\{\begin{array}{l}2b=9-5a=-6\\ c=4a=12\end{array}\right.$）
又因為曲線y=f（x）過原點，所以d=0 故f（x）=x³-3x²+12．…（6分）
（2）由于a＞0，所以“f（x）在R上單調”等價于“f'（x）=ax²+2bx+c≥0在R上恒成立”．
只需△=（2b）²-4ac≤0…（8分）
由（*）得$\left\{\begin{array}{l}2b=9-5a\\ c=4a\end{array}\right.$代入整理得，a²-10a+9≤0，…（11分）
解得1≤a≤9．…（12分）

點評 本題主要考查函數的單調性、極值點與其導函數之間的關系．屬中檔題．