Question

7．已知實數x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}y-2≤0\\ x+3≥0\\ x-y-1≤0\end{array}\right.$，則$\frac{x+2y-6}{x-4}$的取值范圍是（　　）

• A． $[-1，0）∪[\frac{17}{7}，+∞）$
• B． $[-1，0）∪[0，\frac{17}{7}）$
• C． $（-∞，-1]∪[\frac{17}{7}，+∞）$
• D． $[-1，\frac{17}{7}]$

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，再由$\frac{x+2y-6}{x-4}$=1+2×$\frac{y-1}{x-4}$，結合直線的斜率得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}y-2≤0\\ x+3≥0\\ x-y-1≤0\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯立$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.$，得A（-3，-4），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.$，得B（3，2），
而$\frac{x+2y-6}{x-4}$=1+2×$\frac{y-1}{x-4}$，
定點P（4，1）與B連線的斜率為${k}_{PB}=\frac{2-1}{3-4}=-1$，
定點P（4，1）與A連線的斜率為${k}_{PA}=\frac{-4-1}{-3-4}=\frac{5}{7}$，
∴$\frac{x+2y-6}{x-4}$的取值范圍是[-1，$\frac{12}{7}$]．
故選：D．

點評 本題考查簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法與數學轉化思想方法，是中檔題．