Question

17．已知正三角形ABC的邊長為2，AM是邊BC上的高，沿AM將△ABM折起，使得二面角B-AM-C的大小為90°，此時點M到平面ABC的距離為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

Answer 1

分析 以M為原點，MB，MC，MA為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點M到平面ABC的距離．

解答 解：∵正三角形ABC的邊長為2，AM是邊BC上的高，
沿AM將△ABM折起，使得二面角B-AM-C的大小為90°，
∴MA、MB、MC三條直線兩兩垂直，AM=$\sqrt{3}$，BM=CM=1，
以M為原點，MB，MC，MA為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
則M（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），
A（0，0，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{BM}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{BA}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（-1，1，0），
設平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}=-x+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-x+y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，1），
∴點M到平面ABC的距離為：
d=$\frac{|\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．