Question

7．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB=2，AC=PA=4．
（1）求直線PB與平面PAC所成角的正弦值；
（2）求二面角A-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析 以A為原點，在平面ABC內作垂直于AC的射線為x軸，以射線AC為y軸，
射線AP為z軸建立如圖所示空間直角坐標系，則P（0，0，4），B（$\sqrt{3}$，1，0），C（0，4，0），利用向量法求解

解答 解：（1）如圖，以A為原點，在平面ABC內作垂直于AC的射線為x軸，以射線AC為y軸，
射線AP為z軸建立如圖所示空間直角坐標系，…（2分）
則P（0，0，4），B（$\sqrt{3}$，1，0），C（0，4，0），故$\overrightarrow{PB}=（\sqrt{3}，1，-4）$，
由x軸⊥平面PAC得平面PAC的一個法向量為$\overrightarrow{n}=（1，0，0）$，…（5分）
設直線PB與平面PAC所成角為α，
則sinα=|cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PB}＞$|=|$\frac{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{PB}|}$|=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{20}}$=$\frac{\sqrt{15}}{10}$，
即直線PB與平面PAC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{15}}{10}$．…（8分）
（2）∵$\overrightarrow{PC}=（0，4，-4）$，$\overrightarrow{BC}=（-\sqrt{3}，3，0）$，
設$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）為平面PBC的一個法向量，
則$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=4y-4z=0$，$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=-\sqrt{3}x+3y=0$，
可取$\overrightarrow{m}=（\sqrt{3}，1，1）$為平面PBC的一個法向量，…（11分）
可知平面PAC的一個法向量為$\overrightarrow{n}=（1，0，0）$，
設二面角A-PC-B的平面角為β，則β為銳角，則cosβ=|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$，
即二面角A-PC-B的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．…（14分）

點評 本題考查了利用向量法求線面角、二面角，屬于中檔題．