Question

6．已知曲線C₁的方程為x²+y²-8x-10y+16=0．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ=2sin θ．
（1）把C₁的方程化為極坐標方程；
（2）求C₁與C₂交點的極坐標（ρ≥0，0≤θ＜2π）．

Answer 1

分析 （1）由將ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsin θ，能把C₁的方程化為極坐標方程；
（2）聯立方程組求解交點的直角坐標，然后直接化為極坐標．

解答 解：（1）將ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsin θ代入x²+y²-8x-10y+16=0，
得ρ²-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0．
所以C₁的極坐標方程為ρ²-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0．
（2）∵ρ=2sin θ，
∴C₂的普通方程為x²+y²-2y=0．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-8x-10y+16=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2y=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$．
所以C₁與C₂交點的極坐標分別為（2，$\frac{π}{2}$）或（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）．

點評 本題考查曲線的極坐標方程的求法，考查兩曲線的交點的極坐標的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．