Question

如圖，四棱錐P-ABCD是正方形，邊長為2，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點，且該四棱錐的側棱長都是3．
（1）求證：PA∥平面BDE；
（2）求證：平面PAC⊥平面BDE；
（3）求直線BE與平面PAC所成的角的余弦值；
（4）求點A到平面BDE的距離．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）連結OE，由已知得OE∥PA，由此能證明PA∥平面BDE．
（2）由已知得AC⊥BD，PO⊥BD，從而BD⊥平面PAC，由此能證明平面PAC⊥平面BDE．
（3）以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線BE與平面PAC所成的角的余弦值．
（4）求出平面BDE的法向量，由此利用向量法能求出點A到平面BDE的距離．

解答： （1）證明：連結OE，∵ABCD是正方形，
∴O是AC中點，又E是PC中點，
∴OE∥PA，
∵OE?平面BDE，AP?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）證明：∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD，
∵AC∩PO=O，∴BD⊥平面PAC，
∵BD?平面BDE，
∴平面PAC⊥平面BDE．
（3）解：以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，
建立空間直角坐標系，
則B（0，

2

，0），P（0，0，1），C（-

2

，0，0），
E（-

2

2

，0，

1

2

），

BE

=（-

2

2

，-

2

，

1

2

），
設直線BE與平面PAC所成的角為θ，
∵平面PAC的法向量

n

=（0，1，0），
∴sinθ=|cos＜

BE

，

n

＞|=|

- 2

11 2

|=

2 22

11

．
∴直線BE與平面PAC所成的角的余弦值為

2 22

11

．
（4）解：D（0，-

2

，0），

BD

=（0，-2

2

，0），
設平面BDE的法向量

m

=（x，y，z），
則

m • BE =- 2 2 x- 2 y+ 1 2 z=0 m • BD =-2 1 3 y=0

，取x=

2

，得

m

=（

2

，0，2），
A（

2

，0，0），

BA

=（

2

，-

2

，0），
∴點A到平面BDE的距離d=

| BA • m |

| m |

=

|2|

6

=

6

3

．

點評：本小題主要考查空間線面關系、幾何體的體積等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．