Question

已知函數f（x）=x²+1，若存在x∈R，使得不等式f²（x）+x[f（x）+x]-af（x）[f（x）+x]≤0成立，則實數a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：導數的綜合應用

分析：把f（x）=x²+1，代入化簡，分離參數得a≥

x2+1

x2+x+1

+

x

x2+1

，構造函數g（x）=

x2+1

x2+x+1

+

x

x2+1

，求出函數g（x）的最小值即可．

解答： 解：∵f（x）=x²+1，f²（x）+x[f（x）+x]-af（x）[f（x）+x]≤0成立，
∴（x²+1）²+x（x²+1+x）-a（x²+1）（x²+1+x）≤0，
∵x²+1＞0，x²+1+x＞0，
∴a≥

x2+1

x2+x+1

+

x

x2+1

在x∈R，恒成立
設g（x）=

x2+1

x2+x+1

+

x

x2+1

，
則g′（x）=

x2-1

(x2+x+1)2

+

1-x2

(x2+1)2

=（x²-1）（

1

(x2+x+1)2

-

1

(x2+1)2

）=（x²-1）（

1

x2+x+1

+

1

x2+1

）（

1

x2+x+1

-

1

x2+1

）
=-x（x²-1）（

1

x2+x+1

+

1

x2+1

）（

1

(x2+x+1)(x2+1)

），
令g′（x）=0，解得x=0，x=1，x=-1，
當g′（x）＞0，解得x＜-1，或0＜x＜1，函數遞增，
當g′（x）＜0，解得x＞1，或-1＜x＜0，函數遞減，
所以當x=0時函數有極小值，
又∵g（x）=0的解為只有一個x=0
∴x=0是函數的最小值
g（0）=1
∴a≥1，
故答案為[1，+∞）

點評：本題考查了函數恒成立的問題，方法是分離參數，利用導數求出函數的最大值，培養了學生的運算能力和轉化能力，屬于中檔題