Question

半徑為r的球在一個圓錐內部，它的軸截面是一個正三角形與其內切圓，則圓錐的全面積與球面面積的比是

 

．

Answer 1

考點：旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：通過軸截面是一個正三角形與其內切圓，求出圓錐的底面半徑與圓錐的高，求出球的表面積與圓錐的全面積，即可得到比值．

解答： 解：因為半徑為r的球在一個圓錐內部，它的軸截面是一個正三角形與其內切圓，
所以圓錐的高為：3r，正三角形的高為：3r，所以正三角形的邊長a，

3

2

a=3r，
所以a=2

3

r，
球的表面積為：4πr²，
圓錐的表面積為：(

3

r)2π+

1

2

×2

3

rπ×2

3

r=9πr²．
圓錐的全面積與球面面積的比：9：4．
故答案為：9：4．

點評：本題考查圓錐的內接球，球的表面積與圓錐的表面積的求法，考查計算能力，空間想象能力．