Question

已知圓錐曲線C：

x=2cosα y= 3 sinα

（α為參數）和定點A（0，

3

），F₁、F₂是此圓錐曲線的左、右焦點，以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求直線AF₂的直角坐標方程；
（2）經過點F₁且與直線AF₂垂直的直線l交此圓錐曲線于M、N兩點，求|MF₁|-|NF₁|的值．

Answer 1

考點：橢圓的參數方程,直線與圓錐曲線的關系

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程,坐標系和參數方程

分析：（1）求出橢圓方程的普通方程，求出焦點，運用直線方程的截距式寫出直線AF₂的直角坐標方程；
（2）運用兩直線垂直的條件，求得直線l的斜率和傾斜角，寫出參數方程，代入橢圓方程，由韋達定理及參數的幾何意義，即可得到所求．

解答： 解：（1）曲線C：

x=2cosα y= 3 sinα

可化為

x2

4

+

y2

3

=1，
其軌跡為橢圓，焦點為F₁（-1，0），F₂（1，0）．
經過A（0，

3

）和F₂（1，0）的直線方程為

x

1

+

y

3

=1，
即

3

x+y-

3

=0；
（2）由（1）知，直線AF₂的斜率為-

3

，
因為l⊥AF₂，所以l的斜率為

3

3

，傾斜角為30°，
所以l的參數方程為

x=-1+ 3 2 t y= 1 2 t

 （t為參數），
代入橢圓C的方程中，得13t²-12

3

t-36=0．
因為M，N在點F₁的兩側，
所以|MF₁|-|NF₁|=|t₁+t₂|=

12 3

13

．

點評：本題考查橢圓的參數方程和普通方程的互化，考查橢圓的性質和直線方程的參數式和運用，考查運算能力，屬于基礎題．