Question

將（1+

1

3

x）ⁿ展開式的各項依次記為a₁（x），a₂（x），a₃（x），…，a_n（x），a_n+1（x），設F（x）=a₁（x）+2a₂（x）+3a₃（x）+…+na_n（x）+（n+1）a_n+1（x）．
（1）是否存在n∈N^*，使得a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系數成等比數列？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由．
（2）求證：對任意x₁，x₂∈[0，3]，恒有|F（x₁）-F（x₂）|＜2^n-1（n+2）．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,數列與函數的綜合,二項式定理的應用

專題：函數的性質及應用,二項式定理

分析：（1）由題意可得 a_k（x）=a_k（x）=

C

k-1 n

•(

1

3

)k-1，求得a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系數，根據前三項的系數成等比數列求得n的值，問題得以解決
（2）先利用到序相加法求出F（3）-F（0）的值，利用導數判斷出函數的單調性，即可得證．

解答： 解：（1）由題意得，a_k（x）=

C

k-1 n

•(

1

3

)k-1•k=1、2、3，…n+1，
故a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系數依次為

C

0 n

=1，

C

1 n

•

1

3

=

n

3

，

C

2 n

•(

1

3

)2=

n(n-1)

18

，
∵a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系數成等比數列，
∴

n

3

×

n

3

=1×

n(n-1)

18

，
解得 n=-1，或n=0，
∵n∈N^*，
∴n的值不存在
（2）∵F（x）=a₁（x）+2a₂（x）+2a₂（x）+3a₃（x）…+na_n（x）+（n+1）a_n+1（x）
=

C

0 n

+2

C

1 n

•

1

3

x+3C_n²（

1

3

x）²+…+（n+1）C_nⁿ（

1

3

x）ⁿ，
∴F（3）=

C

0 n

+2

C

1 n

+3C_n²+…+（n+1）C_nⁿ，
設S_n=

C

0 n

+2

C

1 n

+3C_n²+…+（n+1）C_nⁿ，
則有S_n=（n+1）C_nⁿ+nC_n^n-1+…+3C_n²+2

C

1 n

+C_n⁰，
將以上兩個式子相加，并利用C_n^k=C_n^n-k，
可得2S_n=（n+2）（

C

0 n

+

C

1 n

+C_n²+…+C_nⁿ）=（n+2）•2ⁿ，
∴S_n=（n+2）•2^n-1，
所以S_n=（n+2）2^n-1
所以F（3）-F（0）=（n+2）2^n-1-1
又當x∈[0，3]時，F'（x）≥0恒成立，從而F（x）是[0，3]上的單調遞增函數，
所以對任意x₁，x₂∈[0，3]，|F（x₁）-F（x₂）|≤F（3）-F（0）=（n+2）2^n-1-1＜（n+2）2^n-1．

點評：本題主要考查等差數列的性質，二項式定理的應用，二項式系數的性質，利用導數研究函數的單調性，根據函數的單調性求函數的值域，屬于中檔題．