Question

表面積為60π的球面上有四點S、A、B、C，且△ABC是等邊三角形，球心O到平面ABC的距離為

3

，若平面SAB⊥平面ABC，則棱錐S-ABC體積的最大值為

 

．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：棱錐S-ABC的底面積為定值，欲使棱錐S-ABC體積體積最大，應有S到平面ABC的距離取最大值，由此能求出棱錐S-ABC體積的最大值．

解答： 解：∵表面積為60π的球，∴球的半徑為

15

，
設△ABC的中心為D，則OD=

3

，所以DA=2

3

，則AB=6
棱錐S-ABC的底面積S=

3

4

×62=9

3

為定值，
欲使其體積最大，應有S到平面ABC的距離取最大值，
又平面SAB⊥平面ABC，
∴S在平面ABC上的射影落在直線AB上，而SO=

15

，點D到直線AB的距離為

3

，
則S到平面ABC的距離的最大值為3

3

，
∴V=

1

3

×9

3

×3

3

=27．
故答案為：27．

點評：本小題主要考查棱錐的體積的最大值的求法，考查化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．