Question

已知定義域為R的函數f（x）=

ex-1

aex+1

是奇函數．
（1）求a的值；
（2）判斷f（x）的單調性，并用定義證明你的結論．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：（1）函數f（x）=

ex-1

aex+1

是奇函數．可得f（-x）+f（x）=

e-x-1

ae-1+1

+

ex-1

aex+1

=0，化簡解出即可；
（2）利用函數單調性的定義與指數函數的單調性即可證明．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=

ex-1

aex+1

是奇函數．
∴f（-x）+f（x）=

e-x-1

ae-1+1

+

ex-1

aex+1

=0，
化為（1-a）（e^x-1）²=0，
∴1-a=0，
解得a=1．
∴f（x）=

ex-1

ex+1

．
經過驗證a=1時，函數f（x）是R上的奇函數．
（2）f（x）=1-

2

ex+1

．
函數f（x）是R上的單調遞增函數．
證明：?x₁＜x₂，0＜ex1＜ex2．
則f（x₁）-f（x₂）=1-

2

ex1+1

-(1-

2

ex2+1

)
=

2(ex1-ex2)

(ex1+1)(ex2+1)

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）是R上的單調遞增函數．

點評：本題考查了函數的奇偶性、單調性與指數函數的單調性，屬于基礎題．