Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，0≤φ≤

π

2

）的圖象在y軸右側的第一個最高點為P（

1

3

，2），在原點右側與x軸的第一個交點為H（

5

6

，0）
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）在區間[

1

4

，

3

4

]上的對稱軸方程．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數的圖象

專題：計算題,三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）根據所給的兩個點，看出周期和振幅，代入一個點的坐標和初相的范圍求出初相，得到三角函數的解析式．
（2）根據正弦函數的對稱軸的表示形式，把πx+

π

6

等于對稱軸表示的形式，根據對稱軸要求的范圍，求出結果．

解答： 解：（1）∵f（x）=Asin（ωx+φ），
∵圖象在y軸右側的第一個最高點為P（

1

3

，2），在原點右側與x軸的第一個交點為Q（

5

6

，0）．
∴A=2，

T

4

=

5

6

-

1

3

  
∴T=2  
∴ω=

2π

T

=π
將點P（

1

3

，2）代入y=2sin（πx+φ）得：sin（

π

3

+φ）=1，即

π

3

+φ=2kπ+

π

2

，k∈z
所以ϕ=2kπ+

π

6

（k∈Z），
∵|ϕ|＜

π

2

∴ϕ=

π

6

∴函數的表達式為f（x）=2sin（πx+

π

6

）（x∈R）
（2）根據正弦函數的對稱軸得到
πx+

π

6

=kπ+

π

2

（k∈z）
解得：x=k+

1

3

．
∵

1

4

≤k+

1

3

≤

3

4

，解得-

1

12

≤k≤

5

12

由于k∈Z，所以k=0
所以函數f（x）在區間[

1

4

，

3

4

]上的對稱軸的方程為x=

1

3

．

點評：本題考查根據所給的確定三角函數的解析式，考查對三角函數進行恒等變形，考查三角函數的對稱性，本題解題的關鍵是確定三角函數的解析式，特別是對于初相的確定是一個難點，屬于中檔題．