Question

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函數y=sinx（-π＜x＜0）上兩不同點，試根據函數圖象特征判定下列四個不等式的正確性：
①

sinx1

x1

＜

sinx2

x2

；
②sinx₁＜sinx₂；
③

1

2

(sinx1+sinx2)＞sin

x1+x2

2

；
④sin

x1

2

＞sin

x2

2

其中正確的不等式的個數是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：①根據

sinx1

x1

表示直線OA的斜率，

sinx2

x2

表示直線OB的斜率，A在第三象限時，與原點連線斜率為正，B在第四象限時，與原點所連直線斜率為負，可得①不正確；
②由于函數y=sinx（-π＜x＜0）的單調性不確定，可得出②不正確；
③由于函數y=sinx的圖象在（-

π

2

，0）上是下凹型的，而

1

2

（sinx₁+sinx₂）表示線段AB中點的縱坐標，故有③

1

2

(sinx1+sinx2)＞sin

x1+x2

2

成立；
④由-

π

2

＜

x1

2

＜

x2

2

＜0，而函數y=sinx在（-

π

2

，0）上是增函數，可得sin

x1

2

＜sin

x2

2

成立．

解答： 解：①由于

sinx1

x1

表示直線OA的斜率，

sinx2

x2

表示直線OB的斜率，A在第三象限時，與原點連線斜率為正，B在第四象限時，與原點所連直線斜率為負，故①不正確；
②由于函數y=sinx（-π＜x＜0）的單調性不確定，故由x₁＜x₂，不能推出①sinx₁＜sinx₂ ． 故②sinx₁＜sinx₂ ，不一定成立．
③由于函數y=sinx的圖象在（-

π

2

，0）上是下凹型的，而

1

2

（sinx₁+sinx₂）表示線段AB中點的縱坐標，故有③

1

2

(sinx1+sinx2)＞sin

x1+x2

2

成立．
④由題意可得-

π

2

＜

x1

2

＜

x2

2

＜0，而函數y=sinx在（-

π

2

，0）上是增函數，故有sin

x1

2

＜sin

x2

2

成立，故④不正確．
故③正確．
故選：B．

點評：本題主要正弦函數的單調性，線段的中點公式以及直線的斜率公式的應用，屬于基本知識的考查．